El número Phi

Voy a escribir una serie de posts acerca de números y curiosidades. Es un mundo increíble que gobierna nuestra realidad sin darnos cuenta.

Para ello nada mejor que empezar con ϕ.

$latex \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\, 586\,834\,365\,638\,117\,720…&s=1$

También conocido como número áureo o divina proporción, este número es la proporción que existe cuando se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra. Expliquemos esto con un dibujo:

O lo que es lo mismo pero matemáticamente:

$latex \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}&s=1$

Es decir que $latex \Phi$ estaría en una proporción dado la línea imaginaria cuyos segmentos a y b mantengan la proporción de la fómula arriba indicada. Esta proporción es la divina proporción.
Se puede obtener a partir de la anterior fómula de la siguiente forma:

$latex \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} ; a^2 = b(a+b) = ba + b^2 ; a^2 - ba - b^2 = 0&s=1$

Si despejamos a teniendo en cuenta que tanto a como b son mayores que 0 (sino vaya recta mas miserable no?) obtenemos:

$latex a = \frac{b + \sqrt{b^2 + 4b^2}}{2} = \frac{b + \sqrt{5b^2}}{2} = \frac{b + b\sqrt{5}}{2} = \frac{b(1 + \sqrt{5})}{2}&s=1$

Ahora dividimos todo por b y obtenemos:

$latex \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \Phi&s=1$

Si de veras habéis leido lo anterior este video lo entenderéis mejor, sino os aclarará las ideas. Podemos comprobar como ϕ está en todo el universo, desde las flores a los agujeros negros. No dejéis de leer la entrada en la wikipedia al respecto.

http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc

Motivado por Fogonazos.